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Université Toulouse - Jean Jaurès


MI00302V - Analyse S3

Accessible en Service d'Enseignement à Distance
Semestre Premier semestre
Crédits ECTS 5
Volume horaire 50

Langues d'enseignements

Espagnol

Responsables

Thierry HENOCQ
henocq@univ-tlse2.fr

Pré-requis

Cette UE concerne un public de spécialistes.
Que faut-il savoir pour suivre correctement ce cours?
Les notions techniques vues en analyse S1-MIB0102V et en analyse S2-MIA0202V sont indispensables, à savoir :
- le calcul des limites via les équivalents et les développements limités, la définition (et surtout la compréhension) des limites et leurs propriétés, les propriétés locales des fonctions (ordre de grandeur, petit o, équivalent, application des développements limités....), l'étude complète d'une fonction.
- les techniques de calcul de primitives.

Objectifs

Le programme de cette UE porte exclusivement sur les suites numériques et les intégrales généralisées.

Contenu

Notions
- Suites réelles :
- Définition de la limite d'une suite et analogie avec celle des fonctions numériques de la variable réelle
- Propriété de la limite : opérations, stabilité des inégalités larges par passage à la limite
- Convergence, divergence des suites, suite monotone, théorème de la limite monotone
- Exemples fondamentaux : suite arithmétique, géométrique, suite définie par une relation de récurrence...
- Etude asymptotique des suites : suite négligeable devant une autre, suites équivalentes, développements limités en l'infini
- Théorème du point fixe
- Intégrales généralisées :
- Définition d'une intégrale généralisée convergente, divergente
- Linéarité, relation de Chasles
- Les intégrales généralisées de référence pour la borne 0 et la borne infini (Riemann, exponentielle, logarithme, Bertrand...)
- Théorèmes classiques dans le cas des fonctions positives : comparaison, équivalent...
- Absolue convergence

Savoir faire
- Suites :
- Variations, majoration, minoration
- Démonstration par Récurrence
- Techniques d'étude de convergence : gendarmes, croissante majorée implique convergence, équivalent, DL en l'infini, ordre de grandeur, calcul de limites
- Utilisation des suites extraites sur des exemples simples
- Etude des suites "classiques" : arithmétiques, géométriques 
un+1 = f(un)mise en pratique du théorème du point fixe via l'étude d'une fonction numérique, suites homographiques

- Intégrales généralisées :
- Calcul d'intégrales et extension aux intégrales généralisées : primitives, intégration par parties, intégration par changement de variable
- Application des théorèmes classiques de comparaison et d'équivalent : savoir calculer un équivalent d'une fonction, trouver une "bonne" comparaison, utiliser la règle de Riemann permettant de conclure à la convergence ou divergence




Bibliographie

Ce cours est un classique des deux premières années postbac scientifiques.
- Une multitude de cours et exercices en lignes sont disponibles en tapant dans un moteur de recherche "suite numérique" ainsi que "intégrale généralisée" ou "intégrale impropre".
- Les thématiques de cette unité d'enseignement sont également présentes dans tout livre mathématiques de première ou deuxième année de licence et d'école préparatoire scientifiques.
La bibliothéque centrale de l'UT2J ainsi que celle du bâtiment Olympe de Gouges en proposent plusieurs.
Tout étudiant de la licence MIASHS a également accès à la bibliothèque centrale de l'université Paul Sabatier.
- Les outils de calcul formel sont également fort précieux et doivent être utilisés.
Je conseille :
- en particulier WxMaxima, logiciel libre (concurrent du payant Maple) facile à utiliser :
http://maths.a.toulouse.free.fr/Outils/WxMaxima.html
- ainsi que le très complet et formidable Sage dont l'interface est un peu moins intuitive au début :
http ://www.sagemath.org/fr/
 
- Le serveur éducatif et la plateforme d'apprentissage en ligne WIMS est un autre outil à exploiter :
            http ://wims.unice.fr/wims/

Contrôles des connaissances

le fichier [PDF - 84 Ko]

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