Discipline(s) : Sciences et technologies

MI0B301T - Algèbre linéaire

Accessible en Formation à distance
Semestre Semestre 1
Crédits ECTS 5
Volume horaire total 50

Domaine(s) LMD

SCIENCES HUMAINES ET SOCIALES, SCIENCES, TECHNOLOGIES, SANTE

Langue(s) d'enseignement

Français

Responsables

Thierry HENOCQ : henocq@univ-tlse2.fr

Pré-requis

Cette UE concerne un public de spécialistes.
Que faut-il savoir pour suivre correctement ce cours ?
Les notions et techniques vues en algèbre S1 « Calcul algébrique » et en algèbre S2 « Algèbre linéaire dans le plan et l’espace », doivent être maitrisées, en particulier :
  • Résolution des systèmes linéaires ; codage matriciel et calcul sur les matrices (somme, produit, inverse), concept et manipulation des polynômes (diviseur, racines et multiplicités, factorisation…)
  • Notion d’espace vectoriel, définition et calcul des déterminants, bases (famille libre, génératrice, théorème de la base incomplète en particulier en dimension 2 et 3)
  • Changement de base, matrice de passage, calcul de la matrice inverse en dimension 2 et 3.
  • Application linéaire, endomorphisme, codage matriciel et changement de bases en dimension 2 et 3.
  • Utilisation d’un logiciel de calcul formel pour l’algèbre

Objectifs

Nous approfondirons dans cette UE les notions d'algèbre linéaire introduites lors des deux premiers semestres de la Licence.
L’objectif principal est de s’approprier le concept d’espace vectoriel et en pratique, pour les espaces vectoriels de dimension finie, de maitriser les changements de bases ainsi que le codage matriciel relatif à n’importe quelle base des vecteurs et des endomorphismes.
L'étude de la réduction des endomorphismes est dès lors au cœur de l'UE.
Un autre objectif est de savoir effectuer tous les calculs à la main en dimension 2, 3 et 4 mais aussi d’investir un logiciel de calcul formel, ou tout outil numérique, pour s’affranchir de ces aspects techniques et rentrer plus en avant dans une compréhension plus fine.

Contenu

  • Algèbre linéaire en dimension finie sur R (dimension supérieure à 3 et sortie du contexte R2 , R3 ). Excursion parfois vers des exemples d’espaces vectoriels sur C.
  • Application linéaires, codage matriciel, changement de bases (formules et intérêt).
  • Réduction des endomorphismes ; valeurs propres et vecteurs propres des endomorphismes et des matrices ; diagonalisation ; trigonalisation (sans théorie et sur des exemples simples en dimension 3).
  • Application

Bibliographie

Ce cours est un classique des deux premières années postbac scientifiques et volontairement aucune référence n’est donnée.
Par contre,
  • Une multitude de cours et exercices en ligne sont disponibles.
  • Les thématiques de cette unité d’enseignement sont également présentes dans tout livre de mathématiques de première ou deuxième année de licence et d’école préparatoire scientifique. La bibliothèque centrale de l’UT2J ainsi que celle du bâtiment Olympe de Gouges en proposent plusieurs. Tout étudiant de la licence MIASHS a aussi accès aux autres bibliothèques universitaires en particulier celle de l’université Paul Sabatier.
Les outils de calcul formel sont également fort précieux et doivent être utilisés.
Je conseille en particulier :
  • WxMaxima, logiciel libre (concurrent du payant Maple) facile à utiliser.
  • Le libre, très complet et formidable SagheMath dont l’interface est un peu moins intuitive au début.
  • Le non moins précieux GéoGébra, une référence en géométrie et connu depuis le collège, très adapté en analyse mais dont le module calcul formel se débrouille également très bien en algèbre linéaire.
  • L’outil en ligne pour l’algèbre linéaire incroyable de facilité et avec rédaction de surcroît : https://matrixcalc.org/fr/
  • Le serveur éducatif et la plateforme d'apprentissage en ligne WIMS https://wims.unice.fr/~wims/
  • Et tout logiciel, y compris les applications pour smartphone (Géogébra et Matrixcalc y sont par exemple téléchargeable) avec lesquels vous vous sentez à l’aise.